ALGEBRA: MONOMIOS Y POLINOMIOS: Concepto del Polinomio y Monomio

Empezemos con el monomio:

Un monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es un polinomio con un único término.

Elementos de un monomio

Un monomio posee una serie de elementos con denominación propia.

Dado el monomio $5x^3 \;$ , se distinguen los siguientes elementos:

coeficiente: $5 \,$
parte literal: $x^3 \,$

El coeficiente de un monomio es el número que aparece multiplicando a la parte literal. Normalmente se coloca al principio. Si tiene valor 1 no se escribe, y nunca puede ser cero ya que la expresión completa tendría valor cero.

Si un monomio carece de coeficiente, este equivale a uno.

Si algún término carece de exponente, este es igual a uno.

Si alguna parte literal no está presente, pero se requiere, entonces se considera con exponente cero, ya que: $\forall x \in \mathbf{R}: x^{0} = 1 \,$

Dada una variable $x \;$ , un número natural $a \;$ y un número real $\alpha \;$ la expresión $\alpha \cdot x^a =\alpha x^a \,$ es un monomio.

Si tenemos varias variables: $x_1,\ldots,x_n$ , el número real $\alpha \;$ y los números naturales $a_1,\ldots,a_n \,$ , el producto correspondiente $\alpha \cdot x_1^{a_1}\cdot x_2^{a_2}\cdot\ldots \cdot x_n^{a_n} = \alpha x_1^{a_1} x_2^{a_2}\ldots x_n^{a_n} =\alpha \prod_{i=1}^{n}x_{i}^{a_{i}}\,$ también es un monomio.

Grado de un monomio

El grado de un monomio es igual a la suma de los exponentes de las variables que lo componen.

Ejemplos

$5x^2 y \;$ tiene grado 3

pues equivale a la expresión: $5\cdot x^2 \cdot y^1 \;$ y la suma de los exponentes es 2 + 1 = 3

$x \;$ tiene grado 1

pues equivale a $1x^1 \;$ y respecto de $x, y\;$ a la expresión: $1x^1 y^0 \;$

$3y^2 \;$ tiene grado 2

y equivale respecto de $x, y\;$ a la expresión: $1x^0 3y^2 \;$

En matemática se considera que el número cero es un monomio de grado “menos infinito” con el fin de que se respete la regla de que el grado del producto de los monomios es igual a la suma de los grados de los factores.

Ahora el Polinomio:

Polinomio, en matemáticas, se denomina a la suma de varios monomios, llamados términos del polinomio. Es una expresión algebraica constituida por una o más variables, utilizando solamente operaciones de adición, sustracción, multiplicación y exponentes numéricos positivos. El polinomio de un sólo término se denomina monomio, el de dos binomio, el de tres trinomio.

La expresión general de los polinomios que sólo tienen una variable, los más utilizados, es:

$P(x)= a_n x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \,$

por ejemplo:

$P(x)= 7 x^5 + 9 x^4 - 14 x^2 + 6 x - 12 \,$

Se denomina grado de un polinomio a la mayor potencia de los monomios que lo componen.

Definición algebraica

Para a₀, …, a_n constantes en algún anillo (en particular podemos tomar un cuerpo, como $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con a_n distinto de cero, para n > 0, entonces un polinomio, P, de grado n en la variable x es un objeto de la forma

$P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1}+ \cdots + a_1 x^{1} + a_0 x^{0}.$

El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}.$

Las constantes a₀, …, a_n se llaman los coeficientes del polinomio. A a₀ se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a a_n, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normado. Siendo x un símbolo llamado indeterminada.

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Concepto del Polinomio y Monomio

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